Sur la stabilité et les dynamiques diffusives dans des domaines non bornés
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Date
2014
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Abstract
Dans cette th`ese, on ´etudie l’existence de solutions stationnaires (spa tialement p´eriodiques) d’un probl`eme d’´evolution dans un domaine infiniment
´etendu, d´ecrit par une ´equation aux d´eriv´ees partielles non lin´eaire, invariante
par translation (spatiale) : l’´equation de Kuramoto-Sivashinsky.
Lorsque la partie non lin´eaire ne comporte aucun terme non local, on sait
que toute solution stationnaire localement int´egrable est triviale. On consid`ere
le cas bidimensionnel o`u la partie non lin´eaire de l’´equation est perturb´ee par
un terme non local. A l’aide de la r´eduction de Liapunov-Schmidt, on d´emontre
l’existence d’une classe de solutions stationnaires non triviales, p´eriodiques
en espaces. L’analyse adopt´ee conduit vers des calculs de ces solutions, par
un processus facilement automatisable. L’´etude des sym´etries du probl`eme,
nous a permis de simplifier l’´equation r´eduite. Ainsi, on obtient un syst`eme
alg´ebrique d’ordre r´eduit, `a partir duquel toutes les petites solutions station naires du probl`eme sont d´etermin´ees.