Projections positives, Processus d'approximation et Equations de di usion.
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Date
2010
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Abstract
En 1989 Altomare a introduit une dé nition générale de la suite des opéra teurs de Bernstein-Schnabl associés à une projection positive. Il a également
étudié le comportement limite de cette suite et de ses itérés.
De plus, il a été établi l'existence d'un semigroupe de contraction positive
qui peut être représenté explicitement en termes des opérateurs de Bernstein Schnabl.
En 1991 Campiti a introduit la dé nition d'une suite d'opérateurs de
Stancu-Mühlbach associés à une projection positive et a étudié le comporte ment asymptotique de cette suite et de ses itérés.
Dans ce travail, on présente une synthèse des propriétés principales des
suites d'opérateurs linéaires positifs cités ci-dessus qui sont liés par un para mètre réel positif λ > 0. On obtient les opérateurs de Bernstein-Schnabl si
λ = 1 et les opérateurs de Stancu-Mühlbach si λ > 1.
En e et, ces opérateurs peuvent être dé nis à partir d'une famille conve nable ou une représentation de mesures.
Lorsque ces mesures sont dé nies par une projection positive on peut alors
établir des propriétés asymptotiques de ces opérateurs et un semigroupe de
contraction positive.
On démontre les propriétés principales d'approximation de ces classes
d'opérateurs et on donne quelques estimations de la vitesse de convergence
et on montre quelques propriétés de saturation.
Il est inévitable de mettre en évidence les relations entre ses opérateurs
et quelques équations de di usion dont les solutions peuvent être exprimées
en termes de ces opérateurs.
Ce mémoire est composé de trois chapitres :
Un premier chapitre dans lequel on introduit des dé nitions et des pro priétés de base de l'analyse fonctionnelle utiles pour la suite de notre travail.
Un deuxième chapitre dans lequel on introduit la notion des projections
positives et les processus d'approximation qui leur sont associés.
Dans le troixième chapitre, on collecte les di érents résultats des études
des opérateurs de Bernstein-Schnabl et les opérateurs de Stancu-Mühlbach.
Ce chapitre est achevé par la représentation des solutions du problème de
Cauchy.