ÉTUDE D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE STOCHASTIQUE Á VOLATILITÉ STOCHATIQUE ET SIMULATIONS NUMÉRIQUES
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Date
2013
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Abstract
Le travail de cette thËse est consacrÈ principalement ‡ la modÈlisation díune option euro pÈenne. La particularitÈ de ces modËles rÈside dans la non observabilitÈ de la volatilitÈ. On
commence par un historique sur quelques modËles qui ont ÈtÈ dÈja ÈlaborÈs par plusieurs
auteurs, en occurence le modËle de rÈfÈrËnce de Black & Scholes qui a considÈrÈ la volatilitÈ
constante. Malheusement cette assertion ne reáÈte pas la realitÈ, vu que la volatilitÈ dÈpend
du temps et du hazard. AÖn de mieux reprÈsenter la realitÈ dans le domaine de la Önance,
on propose un modËle Ècrit sous la forme díun systËme díÈquations di§Èrentielles stochas tiques, dont une des Èquations modÈlise le cours du sous-jacent et líautre prend en compte
la volatilitÈ. Ceci est fait en considÈrant un coe¢ cient de corrÈlation entre les deux mouve ments browniens qui níest pas neccessairement nul. Líapproche utilisÈe pour Èvaluer líoption
est la rÈsolution de líequation aux dÈrivÈes partielles de Garman (EDPG)[12]dans le cas o˘
la racine carrÈ de la volatilitÈ suit le processus díOrnstein-Uhlenbeck arithmÈtique[22]. On
procËde, ‡ la fois ‡ une Ètude analytique o˘ líexistence et líunicitÈ de la solution de líEDPG
est dÈtaillÈe ; ainsi quí‡ líapproximation numÈrique de la solution par le biais de la mÈthode
des di§Èrences Önies.