Global existence, blow up and asymptotic decay for some hyperbolic systems
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Date
2015
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Abstract
Cette these est consacr ` ee´ a l’ ` etude de l’explosion dans le temps et la d ´ ecroissance ´
asymptotique de certains systemes hyperboliques. Globalement, cette th ` ese est com- `
posee de 2 parties principales. La premi ´ ere partie est compos ` ee de deux chapitres 1 et ´
2. Dans le chapitre 1, on considere un syst ` eme d’ ` equations d’onde nonlin ´ eaires, avec ´
un terme d’amortissement deg´ en´ er´ e et un terme fort et nonlin ´ eaire. On d ´ emontre ainsi ´
qu’il y a explosion de la solution dans le temps. Dans le chapitre 2, on considere un `
systeme d’ ` equations visco ´ elastiques nonlin ´ eaires. On d ´ emontre cette fois qu’une solu- ´
tion globale d’un tel systeme n’existe pas. `
La seconde partie, quant a elle, est compos ` ee de deux chapitres 3 et 4. Les deux sont ´
simutanement consacr ´ es´ a l’ ` etude d’un syst ´ eme thermo ` elastique lin ´ eaire en dimension ´
un de type Timoshenko, dans lequel le flux de chaleur est donne par la loi de Catta- ´
neo, notons ici que l’itroduction du term de retard dans la contre-reaction ne concerne ´
que le chapitre 4. Pour cette deuxieme partie, on a obtenu des r ` esultats relatifs ´ a la `
decroissance exponentielle pour les solutions classiques et faibles. La preuve que nous ´
avons etablie est bas ´ ees sur la construction d’une fonction de Lyapunov appropri ´ ee et ´
equivalente ´ a l’ ` energie de la solution consid ´ er´ ee. Cette fonction v ´ erifie une inequation ´
differentielle menant au r ´ esultat de la d ´ ecroissance d ´ esir ´ ee.