Étude d'une Equation aux Dérivées Partielles complètement non linéaire avec résonance dans R N
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Date
2013
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Abstract
Nous étudions dans cette thèse di érentes équations aux dérivées partielles non
linéaires du type elliptique. Nous montrons l'existence des solutions non triviales de
certains problèmes contenant un opérateur non homogène.
Cette thèse est répartie en plusieurs chapitres qui ne peuvent pas être lus indé pendamment les uns des autres.
Dans les chapitres deux et trois, nous faisons un bref rappel des di érents notions
et outils dont nous faisons un usage fréquent dans les autres chapitres.
Dans le quatrième chapitre, nous nous intéressons à étudier les valeurs propres de
l'opérateur (p, q)-Laplacien avec poids dans R
N . Nous allons démontrer qu'il existe
λ
∗ > 0 telle que toute λ > λ∗
est une valeur propre du problème considéré. L'approche
utilisée est basée essentiellement sur le théorème du Col. Nous donnons aussi dans ce
chapitre un résultat concernent l'existence et l'unicité de la valeur propre principale.
Dans le cinquième chapitre, nous traitons un problème de résonance avec une
fonction source non linéaire. Nous montrons moyennant une variante du théorème de
Leray-Lions que de tels problèmes admettent au moins une solution non triviale.
Dans le sixième chapitre, nous établissons des résultats de régularité des solutions
des problèmes traités dans les deux chapitres précédents.
Dans le dernier chapitre, nous établissons l'existence d'une famille de valeurs
propres d'un opérateur nonlinéaire du type divergence généralisant ainsi les résultats
du chapitre quatre. Nous clôturons cette thèse avec une conclusion et des perspectives.