ETUDE DU COMPORTEMENT DE LA DYNAMIQUE DE LA RÉCURRENCE DE MYRBERG GENERALISÉE
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Date
2017
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Abstract
Cette thèse présente les résultats de l’étude théorique et numérique d’un système dyna mique de populations. Le système est modélisé par une transformation bidimensionnelle
ponctuelle (notée T1
) basée sur des fonctions polynomiales.
Nous commençons notre étude par le tracé des courbes de bifurcations obtenues par des
méthodes analytico-numériques, et nous mettons en évidence les points de bifurcations
de codimension-2. Nous analysons la stabilité, les bifurcations du système, les attracteurs
et leurs bassins d’attraction. Nous construisons les ensembles de commutations et les
courbes invariantes passant par des points fixes ou cycles de type col et définissons l’uti lité de certains points d’intersection entre ces deux courbes qui sont d’une très grande
importance pour la description des propriétés d’immersion d’endomorphismes dans des
diffeomorphismes et des attracteurs chaotiques.
Cette thèse comporte deux grandes parties. La première est consacrée à justifier l’im mersion d’un endomorphisme en dimension 1 dans un difféomorphisme bidimensionnel
de type Hénon généralisé et à définir les propriétés communes relatives aux bifurcations
de codimension 1 et 2. La seconde partie concerne l’étude, dans le plan de phase, des
attracteurs de type points fixes ou cycles et leurs basins d’attraction. Les singularités cri tiques sont déterminées, elles représentent les courbes de commutations pour les difféo morphismes et les courbes critiques pour les endomorphismes de dimension 2. L’intersec tion et le pliage de ces courbes de commutations en des points principaux et secondaires
permettent de comprendre la structure de l’attracteur et quelques propriétés importantes
quand le paramètre de prolongement c tend vers zéro et leur écrasement sur l’axe y = 0.