Etude de l’influence des effets non linéaire sur la propagation des solitons dans un milieu non linéaire
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Date
2016
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Abstract
L’étude de la dynamique de propagation non linéaire des solitons où ondes solitaires
constitue un sujet de recherche fondamental dans les domaines d’optique non linéaire et lasers,
et fait appel à des techniques mathématiques et numériques élaborées. La formation des solitons
repose sur un équilibre parfait entre l’effet de la dispersion et la non linéarité, principaux effets
physiques intervenant dans la propagation des ondes dans les milieux non linéaires.
Le travail présenté concerne l'étude théorique de la dynamique de propagation non
linéaire des solitons dans les milieux faiblement non linéaires et faiblement dispersifs
approximés par les équations d’évolution de type Korteweg-de Vries (KdV). On s’intéresse
plus particulièrement aux solutions d’ondes solitaires qui peuvent se propager dans les milieux
inhomogènes gouvernés par les équations KdV et Gardner généralisée à coefficients variables.
En premier lieu, nous avons montré que l’évolution spatio-temporelle du soliton KdV dépend
fortement de la variation temporelle des coefficients de perte et de la non linéarité du milieu.
Dans une seconde étape, nous nous sommes intéressés à la recherche de solutions explicites de
type ondes progressives de l’équation de Gardner généralisée à coefficients variables qui
représente une combinaison de deux équations KdV et KdV modifiée. Une technique appelée
ʺméthode de l’équation auxiliaireʺ a été utilisée pour déterminer de nouvelles familles de
solutions exactes de types onde progressive. Dans une dernière étape, nous avons adapté une
méthode appelée ʺméthode (G’/G) étendueʺ pour construire les solutions localisées d’un
modèle de type Gardner généralisé présentant des termes non linéaires de puissance quelconque
et un terme de dispersion du premier ordre. De nouvelles familles de solutions exactes de type
ondes solitaires, ondes de choc (kink) et soliton singulier ont été obtenues sous certaines
conditions paramétriques. Les solutions ainsi obtenues permettent une bonne compréhension
des différents phénomènes intervenant au cours de la propagation des ondes dans les systèmes
dynamiques modélisés par les équations de type KdV. Une étude numérique a été accomplie
pour analyser la dynamique de propagation spatio‐temporelle des solitons obtenus