Browsing by Author "Lamine NISSE"

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    EXISTENCE ET INSTABILITES SECONDAIRES POUR DES PROBLEMES NON LINEAIRES
    (2005) Lamine NISSE
    Il est bien connu, que les ´ecoulements filtrants convectifs ob´eissant a` la loi de Darcy et a` l’´equation de la chaleur, prennent la forme de rouleaux, dans des couches poreuses horizontales ´etendues (ou infinies), juste au-dessus du seuil de la convection. Les instabilit´es cross-roll, d’Eckhaus et zigzag d´eforment ces rouleaux, et cette d´eformation d´epend de leur amplitude et leur longueur d’onde : les rouleaux bifurqu´es dont la longueur d’onde est plus grande que la valeur critique sont connus pour ˆetre instables. C’est ´egalement le cas pour les mod`eles bidimensionnels dont la longueur d’onde est trop petite. Cependant la question de la stabilit´e des rouleaux avec des longueurs d’onde interm´ediaires est demeur´ee en suspens, jusqu’`a maintenant. Ici la notion de l’int´egrale directe, associ´ee a` une analyse profonde des rouleaux eux-mˆemes, et de l’´equation de dispersion impliquant les vecteurs d’onde et les taux de croissance des perturbations, nous permet de montrer d’un point de vue math´ematiquement rigoureux, que les rouleaux qui r´esistent aux instabilit´es mentionn´ees ci-dessus sont en effet spectralement stable. La preuve repose sur une estimation “par dessous” (minoration) de l’´equation de dispersion qui d´etermine les instabilit´es consistant en des modulations de la longueur d’onde, aussi appel´ees “instabilit´es de bande lat´erale” (sideband instabili ties). Parmi tous les rouleaux bifurqu´es nous sommes capables de d´eterminer lesquels sont lin´eairement stables.